详解Python牛顿插值法

一、牛顿多项式

拉格朗日多项式的公式不具备递推性，每个多项式需要单独构造。但很多时候我们需要从若干个逼近多项式选择一个。这个时候我们就需要一个具有递推关系的方法来构造——牛顿多项式

这里的的a0，a1…等可以通过逐一带入点的值来求得。但是当项数多起来时，会发现式子变得很大，这个时候我们便要引入差商的概念（利用差分思想）具体见式子能更好理解

这里在编程实现中我们可以推出相应的差商推导方程

d(k,0)=y(k)
d(k,j)=(d(k,j-1)-d(k-1,j-1)) / (x(k)-x(k-j))

二、例题

【问题描述】考虑[0,3]内的函数y=f(x)=cos(x)。利用多个（最多为6个）节点构造牛顿插值多项式。
【输入形式】在屏幕上依次输入在区间[0,3]内的一个值x*，构造插值多项式后求其P(x*)值，和多个节点的x坐标。
【输出形式】输出牛顿插值多项式系数向量，差商矩阵，P(x*)值（保留6位有效数字），和与真实值的绝对误差（使用科学计数法，保留小数点后6位有数字）。
【样例1输入】
0.8
0 0.5 1
【样例1输出】
-0.429726
-0.0299721
1
1 0 0
0.877583 -0.244835 0
0.540302 -0.674561 -0.429726
0.700998
4.291237e-03
【样例1说明】
输入：x为0.8，3个节点为(k, cos(k)),其中k = 0, 0.5, 1。
输出：
牛顿插值多项式系数向量，表示P2(x)=-0.429726x^2 - 0.0299721x + 1；
3行3列的差商矩阵；
当x为0.8时，P2(0.8)值为0.700998
与真实值的绝对误差为：4.291237*10^(-3)
【评分标准】根据输入得到的输出准确

三、ACcode:

C++(后面还有python代码）

/*
* @Author: csc
* @Date: 2021-04-30 08:52:45
* @LastEditTime: 2021-04-30 11:57:46
* @LastEditors: Please set LastEditors
* @Description: In User Settings Edit
* @FilePath: \code_formal\course\cal\newton_quo.cpp
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define pr printf
#define sc scanf
#define for0(i, n) for (i = 0; i < n; i++)
#define for1n(i, n) for (i = 1; i <= n; i++)
#define forab(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define forba(i, a, b) for (i = b; i >= a; i--)
#define pb push_back
#define eb emplace_back
#define fi first
#define se second
#define int long long
#define pii pair<int, int>
#define vi vector<int>
#define vii vector<vector<int>>
#define vt3 vector<tuple<int, int, int>>
#define mem(ara, n) memset(ara, n, sizeof(ara))
#define memb(ara) memset(ara, false, sizeof(ara))
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define sq(x) ((x) * (x))
#define sz(x) x.size()
const int N = 2e5 + 100;
const int mod = 1e9 + 7;
namespace often
{
   inline void input(int &res)
   {
       char c = getchar();
       res = 0;
       int f = 1;
       while (!isdigit(c))
       {
           f ^= c == '-';
           c = getchar();
       }
       while (isdigit(c))
       {
           res = (res << 3) + (res << 1) + (c ^ 48);
           c = getchar();
       }
       res = f ? res : -res;
   }
   inline int qpow(int a, int b)
   {
       int ans = 1, base = a;
       while (b)
       {
           if (b & 1)
               ans = (ans * base ％ mod + mod) ％ mod;
           base = (base * base ％ mod + mod) ％ mod;
           b >>= 1;
       }
       return ans;
   }
   int fact(int n)
   {
       int res = 1;
       for (int i = 1; i <= n; i++)
           res = res * 1ll * i ％ mod;
       return res;
   }
   int C(int n, int k)
   {
       return fact(n) * 1ll * qpow(fact(k), mod - 2) ％ mod * 1ll * qpow(fact(n - k), mod - 2) ％ mod;
   }
   int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
   {
       if (b == 0)
       {
           x = 1, y = 0;
           return a;
       }
       int res = exgcd(b, a ％ b, x, y);
       int t = y;
       y = x - (a / b) * y;
       x = t;
       return res;
   }
   int invmod(int a, int mod)
   {
       int x, y;
       exgcd(a, mod, x, y);
       x ％= mod;
       if (x < 0)
           x += mod;
       return x;
   }
}
using namespace often;
using namespace std;

int n;

signed main()
{
   auto polymul = [&](vector<double> &v, double er) {
       v.emplace_back(0);
       vector<double> _ = v;
       int m = sz(v);
       for (int i = 1; i < m; i++)
           v[i] += er * _[i - 1];
   };
   auto polyval = [&](vector<double> const &c, double const &_x) -> double {
       double res = 0.0;
       int m = sz(c);
       for (int ii = 0; ii < m; ii++)
           res += c[ii] * pow(_x, (double)(m - ii - 1));
       return res;
   };

int __ = 1;
   //input(_);
   while (__--)
   {
       double _x, temp;
       cin >> _x;
       vector<double> x, y;
       while (cin >> temp)
           x.emplace_back(temp), y.emplace_back(cos(temp));
       n = x.size();
       vector<vector<double>> a(n, vector<double>(n));
       int i, j;
       for0(i, n) a[i][0] = y[i];
       forab(j, 1, n - 1) forab(i, j, n - 1) a[i][j] = (a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1]) / (x[i] - x[i - j]);
       vector<double> v;
       v.emplace_back(a[n - 1][n - 1]);
       forba(i, 0, n - 2)
       {
           polymul(v, -x[i]);
           int l = sz(v);
           v[l - 1] += a[i][i];
       }

for0(i, n)
           pr("％g\n", v[i]);
       for0(i, n)
       {
           for0(j, n)
               pr("％g ", a[i][j]);
           puts("");
       }
       double _y =  polyval(v, _x);
       pr("％g\n", _y);
       pr("％.6e",fabs(_y-cos(_x)));
   }

return 0;
}

python代码

'''
Author: csc
Date: 2021-04-29 23:00:57
LastEditTime: 2021-04-30 09:58:07
LastEditors: Please set LastEditors
Description: In User Settings Edit
FilePath: \code_py\newton_.py
'''
import numpy as np

def difference_quotient(x, y):
   n = len(x)
   a = np.zeros([n, n], dtype=float)
   for i in range(n):
       a[i][0] = y[i]
   for j in range(1, n):
       for i in range(j, n):
           a[i][j] = (a[i][j-1]-a[i-1][j-1])/(x[i]-x[i-j])
   return a

def newton(x, y, _x):
   a = difference_quotient(x, y)
   n = len(x)
   s = a[n-1][n-1]
   j = n-2
   while j >= 0:
       s = np.polyadd(np.polymul(s, np.poly1d(
           [x[j]], True)), np.poly1d([a[j][j]]))
       j -= 1
   for i in range(n):
       print('％g' ％ s[n-1-i])
   for i in range(n):
       for j in range(n):
           print('％g' ％ a[i][j], end=' ')
       print()
   _y = np.polyval(s, _x)
   print('％g' ％ _y)
   # re_err
   real_y = np.cos(_x)
   err = abs(_y-real_y)
   print('％.6e' ％ err)

def main():
   _x = float(input())
   x = list(map(float, input().split()))
   y = np.cos(x)
   newton(x, y, _x)

if __name__ == '__main__':
   main()

来源：https://blog.csdn.net/weixin_45720246/article/details/116300384