Python使用random和tertools模块解一些经典概率问题

random 模块中的常用函数

random()
返回一个位于区间 [0,1] 内的实数；
uniform(a, b)
返回一个位于区间 [a,b] 内的实数；
randint(a, b)
返回一个位于区间 [a,b] 内的整数；
choice(sequence)
返回一个位于 sequence 中的元素，其中，sequence 为一个有序序列，如 list、string 或者 tuple 等类型；
randrange([start], stop[, step])
等效于 choice(range([start], stop[, step]))；
shuffle(sequence [, random])
无返回值，用于打乱 sequence 中元素的排列顺序；
sample(sequence, n)
返回一个由 n 个 sequence 中的元素组成的分片，其中，sequence 也可以是 set 类型。

利用 itertools 得到排列、组合

permutations(sequence, k))
从序列 sequence 中得到包含 k 个元素的所有排列。

combinations(sequence, k))
从序列 sequence 中得到包含 k 个元素的所有组合。

羊车门问题

有一个抽奖节目，台上有三扇关闭的门，一扇门后面停着汽车，其余门后都是山羊，只有主持人知道每扇门后面是什么。参赛者可以选择一扇门，在开启它之前，主持人会开启另外一扇门，露出门后的山羊，然后允许参赛者更换自己的选择。问题是：参赛者更换选择后能否增加赢得汽车的机会？

有很多时候，我们并不知道自己的理论分析正确与否，但如果知道概率论中的 大数定律，又碰巧懂一点编程，无疑可以利用计算机重复模拟事件以求解问题。该问题的 Python 3.x 解答程序如下：

from random import *

def once(doors = 3):  # 一次事件的模拟
 car = randrange(doors) # 一扇门后面停着汽车
 man = randrange(doors) # 参赛者预先选择一扇门
 return car == man # 参赛者是否最初就选择到车

h = 0 # 坚持选择赢得汽车的次数                   
c = 0 # 改变选择赢得汽车的次数
times = int(1e6) # 重复实验的次数

for i in range(times):
 if once(): h += 1
 else:  c += 1

print("维持选择：",h/times*100,"％\n改变选择：",c/times*100,"％")

运行结果：

维持选择： 33.268 ％
改变选择： 66.732 ％

扑克牌问题

概率论给我们带来了很多匪夷所思的反常结果，条件概率尤其如此。譬如：

四个人打扑克，其中一个人说，我手上有一个 A。请问他手上有不止一个 A 的概率是多少？
四个人打扑克，其中一个人说，我手上有一个黑桃 A。请问他手上有不止一个 A 的概率又是多少？

from random import *

cards = [i for i in range(52)]
counter = [0, 0, 0, 0]

def once(): # 0 表示黑桃 A
 global cards
 ace = set(sample(cards, 13)) & {0,1,2,3}
 return len(ace), 0 in ace

for i in range(int(1e6)):
 a, s = once() # a 表示 A 的个数， s 表示是否有黑桃 A
 if a:
  counter[1] += 1
  if s: counter[3] += 1
 if a > 1:
  counter[0] += 1
  if s: counter[2] += 1

print('情况一：', counter[0]/counter[1], '\n情况二：', counter[2]/counter[3])

运行结果：

情况一： 0.3694922900321386
情况二： 0.5613778028656186

有趣的事情出来了：如果这个人宣布了手中 A 的花色，他手中持有多个 A 的概率竟然会大大增加。可这又该如何理解呢？

一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，求另一个小孩也是女孩的概率

网络上每一次有人发帖提出与条件概率有关的悖论时，总会引来无数人的围观和争论，哪怕这些问题的实质都是相同的。本题目无疑是争论的最多的问题之一。

说起来网上的分析都像模像样，一些原本都迷糊的人被人讲的晕头转向，一会觉得这个对，一会又觉得那个对。现在我不给你分析那些道理，就用计算机来模拟问题，让你直接得到结论，而毋须明白个中缘由。

from random import * # 0 表示女孩，1 表示男孩

family = (lambda n :[{randrange(2),randrange(2)} for i in range(n)])(int(1e6))

both = family.count({0}) # 都是女孩的家庭数
exist = len(family) - family.count({1}) # 有女孩的家庭数

print(both/exist)

运行结果：

0.33332221770186543

没有那些深奥的分析过程，寥寥数行代码就得到了问题的答案，想必这也是计算机引入数学计算与证明的好处。

生日悖论

每个人都有生日，偶尔会遇到与自己同一天过生日的人，但在生活中这种缘分似乎并不常有。我们猜猜看：在 50 个人当中出现这种缘分的概率有多大，是 10％、20％ 还是 50％？

from random import *

counter, times = 0, int(1e6)
for i in range(times):
 if len({randrange(365) for i in range(50)}) != 50: # 存在同一天生日的人
  counter += 1

print('在 50 个人中有相同生日的概率为：',counter/times)

运行结果：

在 50 个人中有相同生日的概率为： 0.970109

在 50 个人中有相同生日的概率高达 97％，这个数字恐怕高出了绝大多数人的意料。我们没有算错，是我们的直觉错了，科学与生活又开了个玩笑。正因为计算结果与日常经验产生了如此明显的矛盾，该问题被称为「生日悖论」，它体现的是理性计算与感性认识的矛盾，并不引起逻辑矛盾，所以倒也算不上严格意义上的悖论。