C#实现FFT(递归法)的示例代码

1. C#实现复数类

我们在进行信号分析的时候，难免会使用到复数。但是遗憾的是，C#没有自带的复数类，以下提供了一种复数类的构建方法。

复数相比于实数，可以理解为一个二维数，构建复数类，我们需要实现以下这些内容：

• 复数实部与虚部的属性

• 复数与复数的加减乘除运算

• 复数与实数的加减乘除运算

• 复数取模

• 复数取相位角

• 欧拉公式（即e^ix+y）

C#实现的代码如下：

public class Complex
   {
       double real;
       double imag;
       public Complex(double x, double y)   //构造函数
       {
           this.real = x;
           this.imag = y;
       }
       //通过属性实现对复数实部与虚部的单独查看和设置
       public double Real
       {
           set { this.real = value; }
           get { return this.real; }
       }
       public double Imag
       {
           set { this.imag = value; }
           get { return this.imag; }
       }
       //重载加法
       public static Complex operator +(Complex c1, Complex c2)
       {
           return new Complex(c1.real + c2.real, c1.imag + c2.imag);
       }
       public static Complex operator +(double c1, Complex c2)
       {
           return new Complex(c1 + c2.real, c2.imag);
       }
       public static Complex operator +(Complex c1, double c2)
       {
           return new Complex(c1.Real + c2, c1.imag);
       }
       //重载减法
       public static Complex operator -(Complex c1, Complex c2)
       {
           return new Complex(c1.real - c2.real, c1.imag - c2.imag);
       }
       public static Complex operator -(double c1, Complex c2)
       {
           return new Complex(c1 - c2.real, -c2.imag);
       }
       public static Complex operator -(Complex c1, double c2)
       {
           return new Complex(c1.real - c2, c1.imag);
       }
       //重载乘法
       public static Complex operator *(Complex c1, Complex c2)
       {
           double cr = c1.real * c2.real - c1.imag * c2.imag;
           double ci = c1.imag * c2.real + c2.imag * c1.real;
           return new Complex(Math.Round(cr, 4), Math.Round(ci, 4));
       }
       public static Complex operator *(double c1, Complex c2)
       {
           double cr = c1 * c2.real;
           double ci = c1 * c2.imag;
           return new Complex(Math.Round(cr, 4), Math.Round(ci, 4));
       }
       public static Complex operator *(Complex c1, double c2)
       {
           double cr = c1.Real * c2;
           double ci = c1.Imag * c2;
           return new Complex(Math.Round(cr, 4), Math.Round(ci, 4));
       }

//重载除法
       public static Complex operator /(Complex c1, Complex c2)
       {
           if (c2.real == 0 && c2.imag == 0)
           {
               return new Complex(double.NaN, double.NaN);
           }
           else
           {
               double cr = (c1.imag * c2.imag + c2.real * c1.real) / (c2.imag * c2.imag + c2.real * c2.real);
               double ci = (c1.imag * c2.real - c2.imag * c1.real) / (c2.imag * c2.imag + c2.real * c2.real);
               return new Complex(Math.Round(cr, 4), Math.Round(ci, 4));           //保留四位小数后输出
           }
       }

public static Complex operator /(double c1, Complex c2)
       {
           if (c2.real == 0 && c2.imag == 0)
           {
               return new Complex(double.NaN, double.NaN);
           }
           else
           {
               double cr = c1 * c2.Real / (c2.imag * c2.imag + c2.real * c2.real);
               double ci = -c1 * c2.imag / (c2.imag * c2.imag + c2.real * c2.real);
               return new Complex(Math.Round(cr, 4), Math.Round(ci, 4));           //保留四位小数后输出
           }
       }

public static Complex operator /(Complex c1, double c2)
       {
           if (c2 == 0)
           {
               return new Complex(double.NaN, double.NaN);
           }
           else
           {
               double cr = c1.Real / c2;
               double ci = c1.imag / c2;
               return new Complex(Math.Round(cr, 4), Math.Round(ci, 4));           //保留四位小数后输出
           }
       }
       //创建一个取模的方法
       public static double Abs(Complex c)
       {
           return Math.Sqrt(c.imag * c.imag + c.real * c.real);
       }
       //创建一个取相位角的方法
       public static double Angle(Complex c)
       {
           return Math.Round(Math.Atan2(c.real, c.imag), 6);//保留6位小数输出
       }
       //重载字符串转换方法,便于显示复数
       public override string ToString()
       {
           if (imag >= 0)
               return string.Format("{0}+i{1}", real, imag);
           else
               return string.Format("{0}-i{1}", real, -imag);
       }
       //欧拉公式
       public static Complex Exp(Complex c)
       {
           double amplitude = Math.Exp(c.real);
           double cr = amplitude * Math.Cos(c.imag);
           double ci = amplitude * Math.Sin(c.imag);
           return new Complex(Math.Round(cr, 4), Math.Round(ci, 4));//保留四位小数输出
       }
   }

2. 递归法实现FFT

以下的递归法是基于奇偶分解实现的。

奇偶分解的原理推导如下：

x(2r)和x(2r+1)都是长度为N/2−1的数据序列，不妨令

则原来的DFT就变成了：

于是，将原来的N点傅里叶变换变成了两个N/2点傅里叶变换的线性组合。

但是，N/2点傅里叶变换只能确定N/2个频域数据，另外N/2个数据怎么确定呢？

因为X₁(k)和X₂(k)周期都是N/2，所以有

从而得到：

综上，我们就可以得到递归法实现FFT的流程：

1.对于每组数据，按奇偶分解成两组数据

2.两组数据分别进行傅里叶变换，得到X₁(k)和X₂(k)

3.总体数据的X(k)由下式确定：

4.对上述过程进行递归

具体代码实现如下：

public Complex[] FFTre(Complex[] c)
{
   int n = c.Length;
   Complex[] cout = new Complex[n];
   if (n == 1)
   {
       cout[0] = c[0];
       return cout;
   }
   else
   {
       double n_2_f = n / 2;
       int n_2 = (int)Math.Floor(n_2_f);
       Complex[] c1 = new Complex[n / 2];
       Complex[] c2 = new Complex[n / 2];
       for (int i = 0; i < n_2; i++)
       {
           c1[i] = c[2 * i];
           c2[i] = c[2 * i + 1];
       }
       Complex[] c1out = FFTre(c1);
       Complex[] c2out = FFTre(c2);
       Complex[] c3 = new Complex[n / 2];
       for (int i = 0; i < n / 2; i++)
       {
           c3[i] = new Complex(0, -2 * Math.PI * i / n);
       }
       for (int i = 0; i < n / 2; i++)
       {
           c2out[i] = c2out[i] * Complex.Exp(c3[i]);
       }

for (int i = 0; i < n / 2; i++)
       {
           cout[i] = c1out[i] + c2out[i];
           cout[i + n / 2] = c1out[i] - c2out[i];
       }
       return cout;
   }
}

3. 补充：窗函数

顺便提供几个常用的窗函数：

• Rectangle

• Bartlett

• Hamming

• Hanning

• Blackman

public class WDSLib
   {
       //以下窗函数均为periodic
       public double[] Rectangle(int len)
       {
           double[] win = new double[len];
           for (int i = 0; i < len; i++)
           {
               win[i] = 1;
           }
           return win;
       }

public double[] Bartlett(int len)
       {
           double length = (double)len - 1;
           double[] win = new double[len];
           for (int i = 0; i < len; i++)
           {
               if (i < len / 2) { win[i] = 2 * i / length; }
               else { win[i] = 2 - 2 * i / length; }
           }
           return win;
       }

public double[] Hamming(int len)
       {
           double[] win = new double[len];
           for (int i = 0; i < len; i++)
           {
               win[i] = 0.54 - 0.46 * Math.Cos(Math.PI * 2 * i / len);
           }
           return win;
       }

public double[] Hanning(int len)
       {
           double[] win = new double[len];
           for (int i = 0; i < len; i++)
           {
               win[i] = 0.5 * (1 - Math.Cos(2 * Math.PI * i / len));
           }
           return win;
       }

public double[] Blackman(int len)
       {
           double[] win = new double[len];
           for (int i = 0; i < len; i++)
           {
               win[i] = 0.42 - 0.5 * Math.Cos(Math.PI * 2 * (double)i / len) + 0.08 * Math.Cos(Math.PI * 4 * (double)i / len);
           }
           return win;
       }
   }

来源：https://www.cnblogs.com/yang-ding/p/16466018.html