Python求离散序列导数的示例

有一组4096长度的数据，需要找到一阶导数从正到负的点，和三阶导数从负到正的点，截取了一小段。

394.0
388.0
389.0
388.0
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392.0
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395.0
395.0
394.0
394.0
390.0
392.0

按照之前所了解的，对离散值求导其实就是求差分，例如第i点的导数（差分）为：

即在一个宽度为2m+1的窗口内通过计算前后m个值加权后的和得到。但是在实际使用过程中效果不是很好。于是想到了同样在一个宽度为2k+1的窗口内，将这2k+1个点拟合成一个函数，然后求导就可以得到任意阶数的导数值。

首先是函数拟合，使用from scipy.optimize import leastsq即最小二乘拟合

from scipy.optimize import leastsq
class search(object):
 def __init__(self, filename):
   self.filename = filename

def func(self, x, p):
   f = np.poly1d(p)
   return f(x)

def residuals(self, p, x, y, reg):
   regularization = 0.1 # 正则化系数lambda
   ret = y - self.func(x, p)
   if reg == 1:
     ret = np.append(ret, np.sqrt(regularization) * p)
   return ret

def LeastSquare(self, data, k=100, order=4, reg=1, show=1): # k为求导窗口宽度,order为多项式阶数,reg为是否正则化
   l = self.len
   step = 2 * k + 1
   p = [1] * order
   for i in range(0, l, step):
     if i + step < l:
       y = data[i:i + step]
       x = np.arange(i, i + step)
     else:
       y = data[i:]
       x = np.arange(i, l)
     try:
       r = leastsq(self.residuals, p, args=(x, y, reg))
     except:
       print("Error - curve_fit failed")
     fun = np.poly1d(r[0]) # 返回拟合方程系数
     df_1 = np.poly1d.deriv(fun) # 求得导函数
     df_2 = np.poly1d.deriv(df_1)
     df_3 = np.poly1d.deriv(df_2)
     df_value = df_1(x)
     df3_value = df_3(x)

fun = np.poly1d(r[0]),fun返回的是一个 polynomial class，具体使用可以见官方文档numpy.poly1d
polynomial对象可以使用deriv方法求导数，求得的依然是 polynomial对象。 df_value = df_1(x)所得到的就是x这个几个点求得的导数值。

看似大功告成，但是求导的结果并不是很好，如下图，实际最高点在100左右，但是拟合出来的曲线最高点在120左右，而原因在于使用多项式拟合很难准确拟合曲线。

于是想用高斯函数来实现对曲线的拟合，在matlab中试了下，三阶高斯拟合可以很好的拟合曲线，

但是numpy以及sicpy中没有找到类似poly1d这种对象，虽然可以自己定义高斯函数，如下

 def gaussian(self, x, *param):
   fun = param[0]*np.exp(-np.power(x - param[2], 2.) / (2 * np.power(param[4],    2.)))+param[1]*np.exp(-np.power(x - param[3], 2.) / (2 * np.power(param[5], 2.)))
   return fun

但是，在通过最小二乘拟合得到函数参数后只能得到拟合后的点，无法直接求导数..所以并不适合。

所以还是只能回到多项式拟合，如果4阶多项式不能表征的话，更高阶的呢

总体来说，效果还是可以接受的。

如果下阶段找到好的高斯函数拟合方法，会继续更新。

来源：https://blog.csdn.net/renjunsong0/article/details/70176119