python实现共轭梯度法

共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。

算法步骤：

import random
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def goldsteinsearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):
'''
线性搜索子函数
数f，导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d，t试探系数>1，
'''
flag = 0

a = 0
b = alpham
fk = f(x)
gk = df(x)

phi0 = fk
dphi0 = np.dot(gk, d)
alpha=b*random.uniform(0,1)

while(flag==0):
 newfk = f(x + alpha * d)
 phi = newfk
 # print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)
 if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):
  if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):
   flag = 1
  else:
   a = alpha
   b = b
   if (b < alpham):
    alpha = (a + b) / 2
   else:
    alpha = t * alpha
 else:
  a = a
  b = alpha
  alpha = (a + b) / 2
return alpha

def Wolfesearch(f,df,d,x,alpham,rho,t):
'''
线性搜索子函数
数f，导数df，当前迭代点x和当前搜索方向d
σ∈(ρ,1)=0.75
'''
sigma=0.75

flag = 0

a = 0
b = alpham
fk = f(x)
gk = df(x)

phi0 = fk
dphi0 = np.dot(gk, d)
alpha=b*random.uniform(0,1)

while(flag==0):
 newfk = f(x + alpha * d)
 phi = newfk
 # print(phi,phi0,rho,alpha ,dphi0)
 if (phi - phi0 )<= (rho * alpha * dphi0):
  # if abs(np.dot(df(x + alpha * d),d))<=-sigma*dphi0:
  if (phi - phi0) >= ((1 - rho) * alpha * dphi0):
   flag = 1
  else:
   a = alpha
   b = b
   if (b < alpham):
    alpha = (a + b) / 2
   else:
    alpha = t * alpha
 else:
  a = a
  b = alpha
  alpha = (a + b) / 2
return alpha

def frcg(fun,gfun,x0):

# x0是初始点，fun和gfun分别是目标函数和梯度
# x,val分别是近似最优点和最优值，k是迭代次数
# dk是搜索方向，gk是梯度方向
# epsilon是预设精度，np.linalg.norm(gk)求取向量的二范数
maxk = 5000
rho = 0.6
sigma = 0.4
k = 0
epsilon = 1e-5
n = np.shape(x0)[0]
itern = 0
W = np.zeros((2, 20000))

f = open("共轭.txt", 'w')

while k < maxk:
  W[:, k] = x0
  gk = gfun(x0)
  itern += 1
  itern ％= n
  if itern == 1:
   dk = -gk
  else:
   beta = 1.0 * np.dot(gk, gk) / np.dot(g0, g0)
   dk = -gk + beta * d0
   gd = np.dot(gk, dk)
   if gd >= 0.0:
    dk = -gk
  if np.linalg.norm(gk) < epsilon:
   break

alpha=goldsteinsearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)
  # alpha=Wolfesearch(fun,gfun,dk,x0,1,0.1,2)
  x0+=alpha*dk

f.write(str(k)+' '+str(np.linalg.norm(gk))+"\n")
  print(k,alpha)
  g0 = gk
  d0 = dk
  k += 1

W = W[:, 0:k+1] # 记录迭代点
return [x0, fun(x0), k,W]

def fun(x):
return 100 * (x[1] - x[0] ** 2) ** 2 + (1 - x[0]) ** 2
def gfun(x):
return np.array([-400 * x[0] * (x[1] - x[0] ** 2) - 2 * (1 - x[0]), 200 * (x[1] - x[0] ** 2)])

if __name__=="__main__":
X1 = np.arange(-1.5, 1.5 + 0.05, 0.05)
X2 = np.arange(-3.5, 4 + 0.05, 0.05)
[x1, x2] = np.meshgrid(X1, X2)
f = 100 * (x2 - x1 ** 2) ** 2 + (1 - x1) ** 2 # 给定的函数
plt.contour(x1, x2, f, 20) # 画出函数的20条轮廓线

x0 = np.array([-1.2, 1])
x=frcg(fun,gfun,x0)
print(x[0],x[2])
# [1.00318532 1.00639618]
W=x[3]
# print(W[:, :])
plt.plot(W[0, :], W[1, :], 'g*-') # 画出迭代点收敛的轨迹
plt.show()

代码中求最优步长用得是goldsteinsearch方法，另外的Wolfesearch是试验的部分，在本段程序中不起作用。

迭代轨迹：

三种最优化方法的迭代次数对比：

来源：https://blog.csdn.net/Big_Pai/article/details/88540147