Excel公式技巧：十进制数转换成指定进制的数

使用公式来解决问题：给定一个十进制的正整数，将其转换成指定进制的数。如下图1所示，在单元格A2中是给定的十进制正整数值，单元格B2中是指定的进制，示例中是4进制，单元格C2中是转换后的结果，单元格D2中使用公式检验结果是否正确。

图1

在单元格C2中的公式是：

=SUMPRODUCT(MOD(FLOOR(A2/B2^(ROW(INDIRECT(“1:20”))-1),1),B2)*10^(ROW(INDIRECT(“1:20”))-1))

在单元格D2中的公式是：

=SUMPRODUCT(B2^(ROW(INDIRECT(“1:” &LEN(C2)))-1),0+MID(C2,1+LEN(C2)-ROW(INDIRECT(“1:” & LEN(C2))),1))

下面来详细解释公式是怎么得来的。

对于任何进制的数来说，其通用形式为：

图2

其中，x代表进制数，a0、a1、a2、…、an是常量。

例如，对于我们熟悉的10进制来说，整数173可以表示为：

（1X100）+（7X10）+（3X1）

也可以写作：

（1X10^2）+（7X10^1）+（3X10^0）

我们可以很容易地分解成这样的表达式，但是我们如何指示Excel这样做呢？我们可以给出什么指令，以便在给定诸如值173的情况下，可以生成一系列的返回值，即1、7和3分别对应于10^2、10^1和10^0的系数？我们所需要做的就是以某种方式找到一种将值173转换为1个“百”，7个“十”和3个“一”的方法。

我们一般采用以下方式推导：

在173中有1个“百”。

减去1个“百”后，余下的73有7个“十”。

再减去7个“十”后，余下的3有1个“一”。

这些都是非常基本的东西。当然，我们可以在Excel中像上面一样简单地生成等效的算法过程。唯一的麻烦是，上述算法中的每一行都依赖于前一条。也就是说，我们要这样进行设置：

图3

如果尝试将上图3所示工作表中的尝试压缩为一个公式可能有困难，因为列D中的每个公式都包含对其上一行的值的引用。

因此，沿着上述公式链条进行下去，如果我们希望使用一个公式从初始值173中获得3，复合公式为：

=INT(D2-(INT(D2/10^2)*10^2)-(INT((D2-(INT(D2/10^2)*10^2))/10^1)*10^1)/10^0)

这显然并不是我们想要的公式，太冗长了！如果要转换为二进制的话，可想而知，公式会怎样！

幸运的是，还有一种替代方法可以获取每个值。仍以173为例，这次计算该值除以100、10和1中的每一个后取整得到的结果，然后将得到的结果除以基数10求余数：

图4

这里，我们可以看到“结果”列中的值并不依赖于上面的每一行，这次可以使用下面简单的公式得到3：

=MOD(INT($A$2/10^0),10)

沿着这个思路来构造上述方法的数组版本。我们唯一需要确定的事情是执行计算的数组大小，即在指定进制下所需要的最大指数是多少？

在上面的示例中，显然需要的是“百”。因此，对于我们的10的指数需要由三个元素组：0、1和2组成的数组。如果考虑值10,301,444，那么显然需要达到10^7，因此我们的数组将由8个元素组成（从10^0到10^7）。

实际上，这里决定采用一种比较“懒惰”的方法。不是动态确定此值，而是简单地使用了一个较大的（至少以Excel术语来说）索引上限20。

当然，当我们使用除10以外的进制（基数）时，此过程也没有什么不同。以本文开始时给出的示例为例，即将552转换为4进制数，其部分公式为：

B2^(ROW(INDIRECT(“1:20”))-1)

得到一个由20个值组成的数组，该数组由4的0至19次方的结果组成：

{1;4;16;64;256;1024;4096;16384;65536;262144;1048576;4194304;16777216;67108864;268435456;1073741824;4294967296;17179869184;68719476736;274877906944}

然后被552除并向下取整：

FLOOR(A2/{1;4;16;64;256;1024;4096;16384;65536;262144;1048576;4194304;16777216;67108864;268435456;1073741824;4294967296;17179869184;68719476736;274877906944},1)

得到：

{552;138;34;8;2;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0}

接着，求除以4的余数：

MOD({552;138;34;8;2;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0},B2)

得到第一个数组：

{0;2;2;0;2;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0}

第二个数组更直接，由10的0至19次方的结果组成：

{1;10;100;1000;10000;100000;1000000;10000000;100000000;1000000000;10000000000;100000000000;1000000000000;10000000000000;100000000000000;1000000000000000;10000000000000000;100000000000000000;1000000000000000000;10000000000000000000}

因此，最后的结果为：

=SUMPRODUCT({0;2;2;0;2;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0}*{1;10;100;1000;10000;100000;1000000;10000000;100000000;1000000000;10000000000;100000000000;1000000000000;10000000000000;100000000000000;1000000000000000;10000000000000000;100000000000000000;1000000000000000000;10000000000000000000})

得到20220。

可以检验结果是否正确。如下：

(2X4^4)+(0X4^3)+(2X4^2)+(2X4^1)+(0X4^0)

等于：

(2X256)+(0X64)+(2X16)+(2X4)+(0X1)

等于：

512+0+32+8+0

结果为：

552。